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、編集者: Adeline、承認を得て転送。

オリジナル | 「尖度とビットコイン: 定量的分析」

ここでは、ブラック・ショールズのオプション価格設定モデルで使用される基礎的な仮定であるガウス ランダム ウォークの概念を紹介します。このオプション価格設定モデルは、資産価格の変化の時間間隔を独立変数とみなし、価格または資産収益が時間の経過とともに正規分布に従うように変化すると仮定します。つまり、取引は日次、週次などさまざまな期間に均一に分布します。または、毎月の取引量が膨大であるため、中心極限定理（中心極限定理）によれば、これらの価格は正規分布またはガウス分布に従います。資産の収益分布が正規分布である場合、さまざまな収益状況の確率がわかります。これらの確率を理解することで、投資家はこれらの資産を保有する際に発生する可能性のあるリスクをより適切に定量化するアイデアを得ることができます。

これを踏まえると、このモデルは新しいタイプの資産であるビットコインにも適用できるだろうか、と考えざるを得ません。ビットコインの急激な上昇と下落は周知の事実であり、ここでは議論の余地はありません。このペーパーは、リスクフレームワークを構築する方法を検討し、従来の金融デリバティブの価格設定に暗黙的に含まれている仮定をビットコインに適用する方法を検討することを目的としています。

この記事では、まずデリバティブ市場を紹介し、ブラック・ショールズ・モデルの概要を説明し、モデルの重要性と適用範囲について議論し、モデルの非現実的な仮定に基づいてその限界を分析し、ビットコイン市場の性別におけるその実現可能性について議論します。 2016年1月から2019年8月までのビットコインの日次リターンなどの履歴データに基づいて、ビットコインとスタンダード＆プアーズ500指数（S&P500）に適用したブラック・ショールズモデルの結果を比較しました。最後に、「ブラック・ショールズモデルは仮想通貨市場には適用できない可能性がある」という結論が導き出され、この結論から急速に成長するトークンデリバティブ市場に対するいくつかのインスピレーションが得られます。

副題

デリバティブとリスクヘッジ

あなたがトウモロコシ農家で、5,000 ブッシェル (約 127 トン) のトウモロコシを収穫し、できるだけ多く販売したいと考えているとします。ただし、価格は市場の需給状況に影響され、トウモロコシの販売価格が生産コストを下回る場合がありますが、金融デリバティブを利用することで、こうした事態による損失を最小限に抑えることができます。

上記の例は、金融デリバティブの役割を説明しています。もちろん、先物、オプション、スワップなどのあらゆる範囲を考慮すると、このデリバティブのポートフォリオはより複雑になる可能性があります。これらすべてのポートフォリオの基礎は、市場と価格がリスクと不確実性を反映しており、デリバティブがこの不確実性を最小限に抑えるということです。

この基本的な理解を踏まえ、当社は派生商品の価格について特別な配慮を行っています。デリバティブが役割を果たすための前提条件は、原資産の不確実性を実際にヘッジできることですが、効果的な投資のためにオプションをどのように使用するかは、検討する価値のある問題です。

オプションの実際のリスクは、実際には原資産の実際の価格に反映されます。上の例では、プット オプションの価格が 10 セントではなく 2 ドルだったとしても、トウモロコシの価格は 3.50 セントのままです。次に、ブラック・ショールズ モデルを通じて、現時点でのトウモロコシ価格の変動率が 200% を超えていると計算できます (注を参照)。この数値は農産物市場としては異例であり、これに基づいて将来の価格の予想が得られます。トウモロコシの量も変わります。第二に、たとえ期待が同じであっても、プットを 2 ドルで購入すると利益率が大幅に減少し、トウモロコシの価格が 3 ドルを下回ると、オプション プレミアムにより損失が生じます。第三に、期待が変化し、トウモロコシ価格の暗黙の変動が信頼できる場合、1 ブッシェルあたり 1 ドルでトウモロコシを生産することで損失が生じるリスクが大きくなります。したがって、将来に対する市場の期待を反映するオプション価格設定の妥当性が極めて重要です。

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ブラック・ショールズモデル

オプション契約の価格設定プロセスは、実際には非常に機械的です。周知のとおり、ブラック・ショールズ モデルはオプションの価格設定とヘッジにおいて非常に重要な役割を果たしていますが、同時に投資家や取引所もこのモデルを使用してギリシャ型を決定したり、オプションやその他のポートフォリオのδ、ベガ、θを計算したりしています。 γ の等しい偏導関数。これらの偏デリバティブは取引所/ブローカーのリスク管理に非常に役立ち、デリバティブの価格感応度を測定するための係数です。たとえば、大規模な暗号化デリバティブ取引所である Deribit が高リスクのポジションを清算しているとき、そのリスク エンジンは実際に「(デルタ ニュートラル)」ヘッジ ポジションを作成し、プラスとマイナスのデルタが互いに打ち消し合うことを可能にしています。ポートフォリオの価値は変化しませんが、原資産の価格変動の影響を受けます。

これらの新しいデリバティブ取引所の上場のニュースは、私たちの考えを引き起こさずにはいられません：ブラック・ショールズモデルはビットコインのリスク管理において役割を果たすことができるのでしょうか？もしそうなら、これはどの程度役に立ちますか?

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図 1: 対数正規分布 (左) と正規分布 (右)

図 2: オプション権利行使価格の確率分布

ボラティリティが高いほど、正規分布曲線の面積が大きくなり、オプション価格は高くなります。したがって、オプション価格は確率分布として考えることができます。

ボラティリティが非常に安定しており、オプション満了時に株価がコール オプションの行使価格を 100% 上回るか、プット オプションの行使価格を 100% 下回る場合、オプションには価値がありません。実際、ヘッジの観点からは、ヘッジするリスクがないため、現時点でオプションを選択することは意味がありません。または、オプションの満了時に株式がコール オプションの行使価格よりも高くなる可能性が 50% ある、またはプット オプションの行使価格よりも低くなる可能性が 50% あると仮定すると、このオプションは価値があります。投資家は、原株を保有するリスクをヘッジするためにオプションを購入することに惹かれます。

副題

ブラック・ショールズモデルは決して完璧ではありません。ブラック・ショールズモデルの市場に関する仮定は、ある程度、実際の状況と一致しません。このモデルを通じて、トレーダーは権利行使価格、満期までの残り時間、原資産価格、原資産のボラティリティ、リスクフリー金利などのパラメーターを入力するだけで、対応するオプション価格を取得できます。

上記パラメータのうち、4 つのパラメータの値は市場から正確に取得でき、原資産価格のボラティリティのみを推定する必要があります。代わりに、モデルはボラティリティが一定であるだけでなく、事前にわかっていることを前提としています。ボラティリティ自体が不安定になる可能性があるため、この仮定には問題があります。 CBOE は、今後 30 日間の S&P 500 指数の暗黙のボラティリティを示すビクティム指数 (VIX) を作成しました。 2018年、パニック指数（VIX）は最低で8.5％、最高で46％まで低下した。したがって、ボラティリティは年間を通じて常に一定であるとは限りません。

ブラック-ショールズ モデルの精度は市場の変化にも影響されます。 1987 年に金融市場が崩壊すると、デリバティブ市場も影響を受けました。 1987 年以前は、インプライド ボラティリティと権利行使価格の間にはあまり関係がなく、アウト オブ ザ マネーのプットとイン ザ マネーのコールのボラティリティはほぼ同じでした。しかし、1987 年には、不気味な「ボラティリティ スマイル」が出現しました。図 3 に示すように、オプションの現在価格が権利行使価格から乖離すると、オプションのインプライド ボラティリティが上昇し、中低の側面を持ち笑顔の口を示します。 。金融オプションが異なれば、インプライド・ボラティリティの形状も異なり、一般にストック・オプションのボラティリティ曲線は歪む可能性があり、これをボラティリティ・スキューと呼びます。

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この偏りは市場にパニックを引き起こす可能性があります。プット オプションのインプライド ボラティリティがコール オプションよりはるかに高い場合、これは不釣り合いなほどの投資家が下値リスクをヘッジしていることで説明できます。

図 3 の例では、チャートは S&P 500 が負のボラティリティ スキューを示していることを示しています。その理由の 1 つは、オプションを購入するとレバレッジ効果が得られるため、株式を直接購入するのではなく、イン・ザ・マネーのコール オプションを購入することを好む投資家が増えているためです。同じ株価を享受できるため、株式を購入するには株価の100％に相当する資金が必要となります。その結果、投資家の収益率が向上するため、株式価格におけるコールオプションに対する市場の需要が高まり、権利行使価格が低いコールオプションのインプライドボラティリティレベルが上昇します。

したがって、ブラック・ショールズ モデルの正規分布曲線は両端で等しい確率を与えますが、実際にはストック オプション市場はより悲観的に動作する傾向があります。興味深いことに、ビットコイン市場はそれに比べてはるかに楽観的です。

図 4: 有効期限が 2019 年 12 月 27 日のビットコイン オプション表

図 4 は、ビットコイン オプション プラットフォーム Deribit で 2019 年 12 月 27 日に期限切れとなるビットコイン デリバティブを示しています。ビットコインの現在の価格 (10,000+) から同じ程度離れている 2 つの価格 (7,000 と 13,000) は、異なるインプライド ボラティリティを示していることがわかります。 7000 で購入されたプット オプションのインプライド ボラティリティ (右側) レート ( IV) は 86.6% ですが、13,000 コール オプション (左側) の IV は 90.2% とわずかに高くなります。これは、アウト オブ ザ マネーのプットの価値がアウト オブ ザ マネーのコールよりもはるかに低いことを示しています。また、このオプション表はビットコイン オプション市場全体を代表するものではありませんが、かなりの数の投機家が存在することも示しています。投資家は下振れリスクを過小評価している。

副題

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尖度の予測不可能性

尖度はデータ分布の平坦性です。大きな裾を持つデータ分布には大きな尖度値があり、将来の裾のリスク特性を反映しています。サンプルの過剰尖度の式は次のとおりです。

尖度は次のとおりです。

資産の収益分布の尖度を計算する場合、毎日の収益の平均 (各確率変数 X とすべての値の平均との差) からの偏差が必要です。この偏差は次のように表すことができます。

統計学では、モーメントは確率分布の形状を表します。一般に、1次距離と2次モーメントはそれぞれ分布の平均と分散を表し、3次モーメントは歪度（Skewness）を表します。前述したように、歪度は、分布がどの程度非対称であるか、または歪んでいるかを示す尺度です。 4 番目の距離は分布の鋭さを反映し、正規分布の曲線をさまざまな方法で変更します。これは次のように表現できます。

図 5: 同じ分散と正の尖度を持つ正規分布の形状

尖度はリスクの測定に使用できますが、ここでは「ランダム ウォーク」などの基本的な仮定を一時的に無視します。特定の期間にわたるリターンの尖度を見つけることで、投資家はボラティリティがどのように分布しているかを知ることができます。資産収益が正規分布するかどうかによって、さまざまなリスク プロファイルを説明できます。投資コミュニティのほとんどの人は、資産のボラティリティが高いほどリスクが高いと主張し、ボラティリティとリスクを同じものとして扱うことを選択しています。逆に、資産の変動性が低いほど、その資産はより安全になります。しかし、このボラティリティ/リスクの二元論はボラティリティの性質を無視しており、正規分布でリターンを「リスク」カテゴリーにまとめることさえあります。

正規分布に従うようにリターンを制限すると、さまざまなリターン状況の確率がわかります。たとえば、資産の収益率の正規分布の端が -50% と 50% に達すると、この資産は非常に不安定であると見なされますが、収益率が正規分布に従う場合、曲線を描くことができます。およびマージンは、それぞれ平均から 2 および 3 標準偏差です。この情報がわかれば、この可能性に基づいて投資戦略を調整することができ、非常に変動性の高い資産であっても、それほど変動性のない資産と同様に取引できるようになります。したがって、リスクとボラティリティを混同するのではなく、ボラティリティ リスクのコンパスとして機能する直交関係を確立しましょう。

図 6: ボラティリティとリスクの直交関係

図6では、縦軸が価格の予測可能性、横軸が収益の確率分布の既知可能性であると仮定しています。この図では、上象限は「ランダム ウォーク」を表す予測不可能な価格であり、左象限は収益率の既知の確率分布であり、収益率が正規分布に従うことを意味します。

図 7 の左上隅は、「理想的な」仮定に基づいた Black-Scholes モデルの資産を表しています。このような資産は​​「ランダム ウォーク」を経て、価格は予測できず、収益率は正規分布するため、確率分布が既知です。右下隅は、ブラック-ショールズ モデルの逆を表します。資産の価格は予測可能ですが、確率分布はわかりません。この資産は操作されていると考えることができます。インサイダー取引やテクニカル分析全般を通じて、価格は完全に予測可能ですが、発生の確率は不確実です。この資産の価格は時間の経過とともに完全に操作できるため、収益の確率分布を予測する必要がなくなります。左下隅の価格を予測することができ、その確率も知ることができます。このような資産は​​「安定」していると考えられ、価格の乖離がなく、将来の収益率もわかっています。最後に、右上隅は、「ランダム ウォーク」に従いますが、収益確率の異常な分布を持つ資産を表します。

図 7: ボラティリティとリスクのコンパス

ボラティリティ-リスク コンパスを使用すると、資産のリスク プロファイルをより明確に描くことができます。これに基づいて、尖度を使用して、資産がどの象限に該当するかを判断できます。過剰な尖度はブラック・ショールズモデルによる価格設定が必ずしも信頼できるものではないことを意味するため、資産の尖度はオプションのリスクを定量化します。

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ビットコインの尖度

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図 8: ビットコインの日次リターン 2016 年 (左)、2017 年 (中央)、2018 年 (右)

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図 9: 2019 年のビットコインの日次リターン

これまで（2019年9月）、ビットコインの尖度は低下していません。逆に2018年と比較すると若干増加しており、超尖度は3.92となっております。年間の毎日の収益の確率分布は平均付近で大きくなりますが、確率分布は末尾では比較的均一です。これは、正規分布よりも裾が太く、平均の両側の値の範囲が広い、古典的な正の尖度を示します。

図 10: 2016 年から 2019 年のビットコインの超過尖度

全体として、超過尖度は、ブラック・ショールズモデルを使用したビットコインの毎日の収益の確率の偏りは、平均値と裾野の両方で予想よりも大きくなるであろうことを示しています。インプライド・ボラティリティの信頼性が低下するため、価格設定のオプションが非常に難しくなる可能性があります。過度の尖度は、ほとんどの価格変化が予測不能になり、ボラティリティが正規分布に従わないことを意味します。

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比較と結論

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図 11: S&P 500 尖度の変化 (出典: Financial Times)

図 12 のヒストグラムは、S&P500 の日次収益分布がビットコインよりも正規分布に近いことを示しています。一部の日次収益は正規分布曲線をはるかに超えていますが、明らかに過剰な尖度が存在します。しかし全体として、S&P500 のこれら 250 の観測結果のうち、正規分布曲線から外れるのは 6 つだけです。 2017 年のビットコインの毎日の収益を観察した 364 件のうち、28 件は正規分布曲線から外れました。データの比較によると、S&P500の日次イールドカーブは下落率が非常に速く、極端な価格変動の可能性が低いため、イベントの極端な変化を予測することが難しく、変動が予測できないことが分かりました。

図 12: 2018 年の S&P 500 の日次リターン

それでは、そこからどのような啓発が得られるのでしょうか？ S&P 500 が正規分布曲線に当てはまらないのは事実ですが、ビットコインよりも正規分布曲線に当てはまります。この結果の具体的な理由はまだ解明されていませんが、少なくとも 3 つの可能性があると考えています。まず、ビットコインはより広範な株式市場とは異なる資産クラスを表しており、異なる基礎的な前提に従います。第二に、現在のビットコイン市場はまだ未成熟であり、専門の投資機関の管理とコントロールが不足しています。第三に、一般的にブラック・ショールズモデルの信頼性には疑問があり、変動の予測不可能性が「新たな常態」となっています。

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ノート

Brenner と Subrahmanyan の「暗黙の標準偏差を計算するための単純な公式」と Black-Scholes モデルから、次のことが得られます。

σ=√(2π/5)*(2/3.5)

σ=202.73%

上記の式を使用すると、次のようになります。